Ratkaise x^2+40x-75=0

$$x ^ { 2 } + 40 x - 75 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5\sqrt{19}-20\approx 1,794494718$$

$$x=-5\sqrt{19}-20\approx -41,794494718$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+40x-75=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 40 ja c luvulla -75 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-75\right)}}{2}$$

Korota 40 neliöön.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-75\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -75.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+300}}{2}$$

Lisää 1600 lukuun 300.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1900}}{2}$$

Ota luvun 1900 neliöjuuri.

$$x=\frac{-40±10\sqrt{19}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-40±10\sqrt{19}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -40 lukuun 10\sqrt{19}.

$$x=\frac{10\sqrt{19}-40}{2}$$

Jaa -40+10\sqrt{19} luvulla 2.

$$x=5\sqrt{19}-20$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-40±10\sqrt{19}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{19} luvusta -40.

$$x=\frac{-10\sqrt{19}-40}{2}$$

Jaa -40-10\sqrt{19} luvulla 2.

$$x=-5\sqrt{19}-20$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5\sqrt{19}-20 x=-5\sqrt{19}-20$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+40x-75=0$$

Lisää 75 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+40x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Kun luku -75 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+40x=-\left(-75\right)$$

Vähennä -75 luvusta 0.

$$x^{2}+40x=75$$

Jaa 40 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 20. Lisää sitten 20:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+40x+20^{2}=75+20^{2}$$

Korota 20 neliöön.

$$x^{2}+40x+400=75+400$$

Lisää 75 lukuun 400.

$$x^{2}+40x+400=475$$

Jaa x^{2}+40x+400 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+20\right)^{2}=475$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+20\right)^{2}}=\sqrt{475}$$

Sievennä.

$$x+20=5\sqrt{19} x+20=-5\sqrt{19}$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=5\sqrt{19}-20 x=-5\sqrt{19}-20$$