Ratkaise x^2+4x-7=0

$$x ^ { 2 } + 4 x - 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{11}-2\approx 1,31662479$$

$$x=-\left(\sqrt{11}+2\right)\approx -5,31662479$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+4x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 4 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+28}}{2}$$

Lisää 16 lukuun 28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{44}}{2}$$

Ota luvun 44 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-4}{2}$$

Jaa -4+2\sqrt{11} luvulla 2.

$$x=\sqrt{11}-2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{11} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-4}{2}$$

Jaa -4-2\sqrt{11} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{11}-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-7=0$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

Vähennä -7 luvusta 0.

$$x^{2}+4x=7$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=7+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=7+4$$

Lisää 7 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=11$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=11$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Sievennä.

$$x+2=\sqrt{11} x+2=-\sqrt{11}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{11}-2\approx 1,31662479$$

$$x=-\sqrt{11}-2\approx -5,31662479$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+4x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 4 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+28}}{2}$$

Lisää 16 lukuun 28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{44}}{2}$$

Ota luvun 44 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-4}{2}$$

Jaa -4+2\sqrt{11} luvulla 2.

$$x=\sqrt{11}-2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{11} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-4}{2}$$

Jaa -4-2\sqrt{11} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{11}-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-7=0$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

Vähennä -7 luvusta 0.

$$x^{2}+4x=7$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=7+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=7+4$$

Lisää 7 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=11$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=11$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Sievennä.

$$x+2=\sqrt{11} x+2=-\sqrt{11}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$