Ratkaise x^2+4x=1

$$x ^ { 2 } + 4 x = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+2\right)\approx -4,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+4x=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+4x-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 4 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$$

Lisää 16 lukuun 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}$$

Jaa -4+2\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=\sqrt{5}-2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{2}$$

Jaa -4-2\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{5}-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x=1$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=1+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=1+4$$

Lisää 1 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=5$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$x+2=\sqrt{5} x+2=-\sqrt{5}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-2\approx -4,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+4x=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+4x-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 4 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$$

Lisää 16 lukuun 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}$$

Jaa -4+2\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=\sqrt{5}-2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{2}$$

Jaa -4-2\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{5}-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x=1$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=1+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=1+4$$

Lisää 1 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=5$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$x+2=\sqrt{5} x+2=-\sqrt{5}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$