Ratkaise x^2+4x+36=0

$$x ^ { 2 } + 4 x + 36 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-2+4\sqrt{2}i\approx -2+5,656854249i$$

$$x=-4\sqrt{2}i-2\approx -2-5,656854249i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+4x+36=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 4 ja c luvulla 36 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 36}}{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 36}}{2}$$

Kerro -4 ja 36.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2}$$

Lisää 16 lukuun -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2}$$

Ota luvun -128 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{2}$$

Jaa -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} luvulla 2.

$$x=-2+4\sqrt{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i\sqrt{2} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{2}$$

Jaa -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} luvulla 2.

$$x=-4\sqrt{2}i-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2+4\sqrt{2}i x=-4\sqrt{2}i-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x+36=0$$

Vähennä 36 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+4x+36-36=-36$$

Kun luku 36 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+4x=-36$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-36+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=-36+4$$

Lisää -36 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=-32$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=-32$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-32}$$

Sievennä.

$$x+2=4\sqrt{2}i x+2=-4\sqrt{2}i$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-2+4\sqrt{2}i x=-4\sqrt{2}i-2$$