Ratkaise x^2+3x-11=0

$$x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{53} - 3}{2} \approx 2,140054945$$

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}\approx -5,140054945$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 3 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-11\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2}$$

Lisää 9 lukuun 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{53} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Lisää 11 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Kun luku -11 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

Vähennä -11 luvusta 0.

$$x^{2}+3x=11$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Lisää 11 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$