Ratkaise x^2+20x=45

$$x ^ { 2 } + 20 x = 45$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{145}-10\approx 2,041594579$$

$$x=-\left(\sqrt{145}+10\right)\approx -22,041594579$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+20x=45$$

Vähennä 45 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+20x-45=45-45$$

Kun luku 45 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+20x-45=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 20 ja c luvulla -45 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-45\right)}}{2}$$

Korota 20 neliöön.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-45\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -45.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+180}}{2}$$

Lisää 400 lukuun 180.

$$x=\frac{-20±\sqrt{580}}{2}$$

Ota luvun 580 neliöjuuri.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -20 lukuun 2\sqrt{145}.

$$x=\frac{2\sqrt{145}-20}{2}$$

Jaa -20+2\sqrt{145} luvulla 2.

$$x=\sqrt{145}-10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{145} luvusta -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{145}-20}{2}$$

Jaa -20-2\sqrt{145} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{145}-10$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{145}-10 x=-\sqrt{145}-10$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+20x=45$$

Jaa 20 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 10. Lisää sitten 10:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+20x+10^{2}=45+10^{2}$$

Korota 10 neliöön.

$$x^{2}+20x+100=45+100$$

Lisää 45 lukuun 100.

$$x^{2}+20x+100=145$$

Jaa x^{2}+20x+100 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=145$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{145}$$

Sievennä.

$$x+10=\sqrt{145} x+10=-\sqrt{145}$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{145}-10 x=-\sqrt{145}-10$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{145}-10\approx 2,041594579$$

$$x=-\sqrt{145}-10\approx -22,041594579$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+20x=45$$

Vähennä 45 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+20x-45=45-45$$

Kun luku 45 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+20x-45=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 20 ja c luvulla -45 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-45\right)}}{2}$$

Korota 20 neliöön.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-45\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -45.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+180}}{2}$$

Lisää 400 lukuun 180.

$$x=\frac{-20±\sqrt{580}}{2}$$

Ota luvun 580 neliöjuuri.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -20 lukuun 2\sqrt{145}.

$$x=\frac{2\sqrt{145}-20}{2}$$

Jaa -20+2\sqrt{145} luvulla 2.

$$x=\sqrt{145}-10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{145} luvusta -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{145}-20}{2}$$

Jaa -20-2\sqrt{145} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{145}-10$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{145}-10 x=-\sqrt{145}-10$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+20x=45$$

Jaa 20 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 10. Lisää sitten 10:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+20x+10^{2}=45+10^{2}$$

Korota 10 neliöön.

$$x^{2}+20x+100=45+100$$

Lisää 45 lukuun 100.

$$x^{2}+20x+100=145$$

Jaa x^{2}+20x+100 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=145$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{145}$$

Sievennä.

$$x+10=\sqrt{145} x+10=-\sqrt{145}$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{145}-10 x=-\sqrt{145}-10$$