Ratkaise x^2+2x-15=0

$$x ^ { 2 } + 2 x - 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-5$$

$$x=3$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}+2x-15 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=2 ab=-15$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -15.

$$-1,15 -3,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 2.

$$a=-3 b=5$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-3=0 ja x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-15. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -15.

$$-1,15 -3,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 2.

$$a=-3 b=5$$

Kirjoita \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right) uudelleen muodossa x^{2}+2x-15.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 5 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-3=0 ja x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-15\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-15\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2}$$

Ota luvun 64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±8}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±8}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 8.

$$x=\frac{6}{2}$$

Jaa 6 luvulla 2.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±8}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8 luvusta -2.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Jaa -10 luvulla 2.

$$x=-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3 x=-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Kun luku -15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

Vähennä -15 luvusta 0.

$$x^{2}+2x=15$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Lisää 15 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sievennä.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=3 x=-5$$