Ratkaise x^2+2x+5=0

$$x ^ { 2 } + 2 x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-1+2i$$

$$x=-1-2i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5}}{2}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}$$

Lisää 4 lukuun -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Ota luvun -16 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±4i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±4i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 4i.

$$x=\frac{-2+4i}{2}$$

Jaa -2+4i luvulla 2.

$$x=-1+2i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±4i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i luvusta -2.

$$x=\frac{-2-4i}{2}$$

Jaa -2-4i luvulla 2.

$$x=-1-2i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1+2i x=-1-2i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x=-5$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-5+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=-5+1$$

Lisää -5 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=-4$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=-4$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Sievennä.

$$x+1=2i x+1=-2i$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-1+2i x=-1-2i$$