Ratkaise x^2+2x+3=7

$$x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x+3=7$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+3-7=7-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x+3-7=0$$

Vähennä 7 luvusta 3.

$$x^{2}+2x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x+3=7$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+3-3=7-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x=7-3$$

Vähennä 3 luvusta 7.

$$x^{2}+2x=4$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Lisää 4 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x+3=7$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+3-7=7-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x+3-7=0$$

Vähennä 7 luvusta 3.

$$x^{2}+2x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x+3=7$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+3-3=7-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x=7-3$$

Vähennä 3 luvusta 7.

$$x^{2}+2x=4$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Lisää 4 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$