Ratkaise x^2+18x+67=0

$$x ^ { 2 } + 18 x + 67 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{14}-9\approx -5,258342613$$

$$x=-\left(\sqrt{14}+9\right)\approx -12,741657387$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+18x+67=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 18 ja c luvulla 67 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 67}}{2}$$

Korota 18 neliöön.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 67}}{2}$$

Kerro -4 ja 67.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-268}}{2}$$

Lisää 324 lukuun -268.

$$x=\frac{-18±\sqrt{56}}{2}$$

Ota luvun 56 neliöjuuri.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{14}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±2\sqrt{14}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -18 lukuun 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}-18}{2}$$

Jaa -18+2\sqrt{14} luvulla 2.

$$x=\sqrt{14}-9$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±2\sqrt{14}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{14} luvusta -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}-18}{2}$$

Jaa -18-2\sqrt{14} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{14}-9$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{14}-9 x=-\sqrt{14}-9$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+18x+67=0$$

Vähennä 67 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+18x+67-67=-67$$

Kun luku 67 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+18x=-67$$

Jaa 18 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 9. Lisää sitten 9:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+18x+9^{2}=-67+9^{2}$$

Korota 9 neliöön.

$$x^{2}+18x+81=-67+81$$

Lisää -67 lukuun 81.

$$x^{2}+18x+81=14$$

Jaa x^{2}+18x+81 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=14$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

Sievennä.

$$x+9=\sqrt{14} x+9=-\sqrt{14}$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{14}-9 x=-\sqrt{14}-9$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{14}-9\approx -5,258342613$$

$$x=-\sqrt{14}-9\approx -12,741657387$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+18x+67=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 18 ja c luvulla 67 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 67}}{2}$$

Korota 18 neliöön.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 67}}{2}$$

Kerro -4 ja 67.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-268}}{2}$$

Lisää 324 lukuun -268.

$$x=\frac{-18±\sqrt{56}}{2}$$

Ota luvun 56 neliöjuuri.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{14}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±2\sqrt{14}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -18 lukuun 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}-18}{2}$$

Jaa -18+2\sqrt{14} luvulla 2.

$$x=\sqrt{14}-9$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±2\sqrt{14}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{14} luvusta -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}-18}{2}$$

Jaa -18-2\sqrt{14} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{14}-9$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{14}-9 x=-\sqrt{14}-9$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+18x+67=0$$

Vähennä 67 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+18x+67-67=-67$$

Kun luku 67 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+18x=-67$$

Jaa 18 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 9. Lisää sitten 9:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+18x+9^{2}=-67+9^{2}$$

Korota 9 neliöön.

$$x^{2}+18x+81=-67+81$$

Lisää -67 lukuun 81.

$$x^{2}+18x+81=14$$

Jaa x^{2}+18x+81 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=14$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

Sievennä.

$$x+9=\sqrt{14} x+9=-\sqrt{14}$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{14}-9 x=-\sqrt{14}-9$$