Ratkaise x^2+15x-36=0

$$x ^ { 2 } + 15 x - 36 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 2,104686356$$

$$x=\frac{-3\sqrt{41}-15}{2}\approx -17,104686356$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+15x-36=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 15 ja c luvulla -36 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\left(-36\right)}}{2}$$

Korota 15 neliöön.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\left(-36\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -36.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+144}}{2}$$

Lisää 225 lukuun 144.

$$x=\frac{-15±\sqrt{369}}{2}$$

Ota luvun 369 neliöjuuri.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -15 lukuun 3\sqrt{41}.

$$x=\frac{3\sqrt{41}-15}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{41} luvusta -15.

$$x=\frac{-3\sqrt{41}-15}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{41}-15}{2} x=\frac{-3\sqrt{41}-15}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+15x-36=0$$

Lisää 36 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}+15x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Kun luku -36 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+15x=-\left(-36\right)$$

Vähennä -36 luvusta 0.

$$x^{2}+15x=36$$

Jaa 15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{15}{2}. Lisää sitten \frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=36+\frac{225}{4}$$

Lisää 36 lukuun \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{369}{4}$$

Jaa x^{2}+15x+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{369}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{369}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{3\sqrt{41}}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{3\sqrt{41}}{2}$$

Vähennä \frac{15}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{3\sqrt{41}-15}{2} x=\frac{-3\sqrt{41}-15}{2}$$