Ratkaise x^2+14x+45=0

$$x ^ { 2 } + 14 x + 45 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-9$$

$$x=-5$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}+14x+45 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=14 ab=45$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 45.

$$1,45 3,15 5,9$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 14.

$$a=5 b=9$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+5=0 ja x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+45. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=14 ab=1\times 45=45$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 45.

$$1,45 3,15 5,9$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 14.

$$a=5 b=9$$

Kirjoita \left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right) uudelleen muodossa x^{2}+14x+45.

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 9 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x+5\right)+9\left(x+5\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x+5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+5=0 ja x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 14 ja c luvulla 45 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 45}}{2}$$

Korota 14 neliöön.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 45}}{2}$$

Kerro -4 ja 45.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-180}}{2}$$

Lisää 196 lukuun -180.

$$x=\frac{-14±\sqrt{16}}{2}$$

Ota luvun 16 neliöjuuri.

$$x=\frac{-14±4}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-14±4}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -14 lukuun 4.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Jaa -10 luvulla 2.

$$x=-5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-14±4}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4 luvusta -14.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Jaa -18 luvulla 2.

$$x=-9$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-5 x=-9$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Vähennä 45 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+14x+45-45=-45$$

Kun luku 45 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+14x=-45$$

Jaa 14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 7. Lisää sitten 7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-45+7^{2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x^{2}+14x+49=-45+49$$

Lisää -45 lukuun 49.

$$x^{2}+14x+49=4$$

Jaa x^{2}+14x+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=4$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sievennä.

$$x+7=2 x+7=-2$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-5 x=-9$$