Ratkaise x^2+12x+27=0

$$x ^ { 2 } + 12 x + 27 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-9$$

$$x=-3$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}+12x+27 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=12 ab=27$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 27.

$$1,27 3,9$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+27=28 3+9=12$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 12.

$$a=3 b=9$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+3=0 ja x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+27. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=12 ab=1\times 27=27$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 27.

$$1,27 3,9$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+27=28 3+9=12$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 12.

$$a=3 b=9$$

Kirjoita \left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right) uudelleen muodossa x^{2}+12x+27.

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 9 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x+3\right)+9\left(x+3\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x+3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+3=0 ja x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 12 ja c luvulla 27 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 27}}{2}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 27}}{2}$$

Kerro -4 ja 27.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2}$$

Lisää 144 lukuun -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2}$$

Ota luvun 36 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±6}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±6}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 6.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Jaa -6 luvulla 2.

$$x=-3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±6}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6 luvusta -12.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Jaa -18 luvulla 2.

$$x=-9$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-3 x=-9$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Vähennä 27 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+12x+27-27=-27$$

Kun luku 27 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+12x=-27$$

Jaa 12 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 6. Lisää sitten 6:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-27+6^{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$x^{2}+12x+36=-27+36$$

Lisää -27 lukuun 36.

$$x^{2}+12x+36=9$$

Jaa x^{2}+12x+36 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=9$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sievennä.

$$x+6=3 x+6=-3$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-3 x=-9$$