Ratkaise x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-5$$

$$x=5$$

Ratkaisun vaiheet

Vähennä x^{2}+11 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+11 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Vähennä 11 luvusta 42 saadaksesi tuloksen 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x^{2}+11} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(31-x^{2}\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Vähennä 961 molemmilta puolilta.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Vähennä 961 luvusta 11 saadaksesi tuloksen -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Lisää 62x^{2} molemmille puolille.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Selvitä 63x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 62x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Vähennä x^{4} molemmilta puolilta.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Korvaa x^{2} arvolla t.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan -1 tilalle a, muuttujan 63 tilalle b ja muuttujan -950 tilalle c.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{-63±13}{-2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=25 t=38$$

Koska x=t^{2}, ratkaisut on saatu arvioidaan x=±\sqrt{t} kullekin t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Korvaa x arvolla 5 yhtälössä x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Sievennä. Arvo x=5 täyttää yhtälön.

$$42=42$$

Korvaa x arvolla -5 yhtälössä x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Sievennä. Arvo x=-5 täyttää yhtälön.

$$42=42$$

Korvaa x arvolla \sqrt{38} yhtälössä x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Sievennä. Arvo x=\sqrt{38} ei täytä yhtälöä.

$$56=42$$

Korvaa x arvolla -\sqrt{38} yhtälössä x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Sievennä. Arvo x=-\sqrt{38} ei täytä yhtälöä.

$$56=42$$

Näytä yhtälön \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2} kaikki ratkaisut.

$$x=5 x=-5$$