Ratkaise x^2+10x+14=0

$$x ^ { 2 } + 10 x + 14 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{11}-5\approx -1,68337521$$

$$x=-\left(\sqrt{11}+5\right)\approx -8,31662479$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+10x+14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 10 ja c luvulla 14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 14}}{2}$$

Korota 10 neliöön.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 14}}{2}$$

Kerro -4 ja 14.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-56}}{2}$$

Lisää 100 lukuun -56.

$$x=\frac{-10±\sqrt{44}}{2}$$

Ota luvun 44 neliöjuuri.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-10}{2}$$

Jaa -10+2\sqrt{11} luvulla 2.

$$x=\sqrt{11}-5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{11} luvusta -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-10}{2}$$

Jaa -10-2\sqrt{11} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{11}-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x+14=0$$

Vähennä 14 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+10x+14-14=-14$$

Kun luku 14 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+10x=-14$$

Jaa 10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 5. Lisää sitten 5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-14+5^{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x^{2}+10x+25=-14+25$$

Lisää -14 lukuun 25.

$$x^{2}+10x+25=11$$

Jaa x^{2}+10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=11$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Sievennä.

$$x+5=\sqrt{11} x+5=-\sqrt{11}$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{11}-5\approx -1,68337521$$

$$x=-\sqrt{11}-5\approx -8,31662479$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+10x+14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 10 ja c luvulla 14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 14}}{2}$$

Korota 10 neliöön.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 14}}{2}$$

Kerro -4 ja 14.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-56}}{2}$$

Lisää 100 lukuun -56.

$$x=\frac{-10±\sqrt{44}}{2}$$

Ota luvun 44 neliöjuuri.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-10}{2}$$

Jaa -10+2\sqrt{11} luvulla 2.

$$x=\sqrt{11}-5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{11} luvusta -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-10}{2}$$

Jaa -10-2\sqrt{11} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{11}-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x+14=0$$

Vähennä 14 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+10x+14-14=-14$$

Kun luku 14 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+10x=-14$$

Jaa 10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 5. Lisää sitten 5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-14+5^{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x^{2}+10x+25=-14+25$$

Lisää -14 lukuun 25.

$$x^{2}+10x+25=11$$

Jaa x^{2}+10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=11$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Sievennä.

$$x+5=\sqrt{11} x+5=-\sqrt{11}$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$