Ratkaise x^2+(14-x)^2=8^2

$$x ^ { 2 } + ( 14 - x ) ^ { 2 } = 8 ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=7+\sqrt{17}i\approx 7+4,123105626i$$

$$x=-\sqrt{17}i+7\approx 7-4,123105626i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(14-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+196-28x+x^{2}=8^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{2}+196-28x=8^{2}$$

Laske 8 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 64.

$$2x^{2}+196-28x=64$$

Vähennä 64 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+196-28x-64=0$$

Vähennä 64 luvusta 196 saadaksesi tuloksen 132.

$$2x^{2}+132-28x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-28x+132=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -28 ja c luvulla 132 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 2\times 132}}{2\times 2}$$

Korota -28 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 2\times 132}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-8\times 132}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 132.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-1056}}{2\times 2}$$

Lisää 784 lukuun -1056.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{-272}}{2\times 2}$$

Ota luvun -272 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±4\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

Luvun -28 vastaluku on 28.

$$x=\frac{28±4\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{28±4\sqrt{17}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{28±4\sqrt{17}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 28 lukuun 4i\sqrt{17}.

$$x=\frac{28+4\sqrt{17}i}{4}$$

Jaa 28+4i\sqrt{17} luvulla 4.

$$x=7+\sqrt{17}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{28±4\sqrt{17}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{17} luvusta 28.

$$x=\frac{-4\sqrt{17}i+28}{4}$$

Jaa 28-4i\sqrt{17} luvulla 4.

$$x=-\sqrt{17}i+7$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=7+\sqrt{17}i x=-\sqrt{17}i+7$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(14-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+196-28x+x^{2}=8^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{2}+196-28x=8^{2}$$

Laske 8 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 64.

$$2x^{2}+196-28x=64$$

Vähennä 196 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-28x=64-196$$

Vähennä 196 luvusta 64 saadaksesi tuloksen -132.

$$2x^{2}-28x=-132$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-28x}{2}=-\frac{132}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{2}\right)x=-\frac{132}{2}$$

Jaa -28 luvulla 2.

$$x^{2}-14x=-\frac{132}{2}$$

Jaa -132 luvulla 2.

$$x^{2}-14x=-66$$

Jaa -14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -7. Lisää sitten -7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-66+\left(-7\right)^{2}$$

Korota -7 neliöön.

$$x^{2}-14x+49=-66+49$$

Lisää -66 lukuun 49.

$$x^{2}-14x+49=-17$$

Jaa x^{2}-14x+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=-17$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{-17}$$

Sievennä.

$$x-7=\sqrt{17}i x-7=-\sqrt{17}i$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=7+\sqrt{17}i x=-\sqrt{17}i+7$$