Ratkaise x^2+(x+3/2)^2-8x-2(x+3/2)+7=0

$$x ^ { 2 } + ( \frac { x + 3 } { 2 } ) ^ { 2 } - 8 x - 2 ( \frac { x + 3 } { 2 } ) + 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=1$$

$$x=5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Kohota \frac{x+3}{2} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro x^{2}-8x ja \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Koska arvoilla \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} ja \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Suorita kertolaskut kohteessa \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Ilmaise 2\times \frac{x+3}{2} säännöllisenä murtolukuna.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Supista 2 ja 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x+3 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro -x-3 ja \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Koska arvoilla \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} ja \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Suorita kertolaskut kohteessa 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Ilmaise 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Supista 2 sekä osoittajasta että nimittäjästä.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Jaa jokainen yhtälön 5x^{2}-30x-3 termi luvulla 2, ja saat tulokseksi \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Selvitä \frac{25}{2} laskemalla yhteen -\frac{3}{2} ja 14.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{5}{2}, b luvulla -15 ja c luvulla \frac{25}{2} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Kerro -4 ja \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-10\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Kerro -10 ja \frac{25}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-125}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Lisää 225 lukuun -125.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{100}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Ota luvun 100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Kerro 2 ja \frac{5}{2}.

$$x=\frac{15±10}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±10}{5}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun 10.

$$x=\frac{25}{5}$$

Jaa 25 luvulla 5.

$$x=5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±10}{5}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10 luvusta 15.

$$x=\frac{5}{5}$$

Jaa 5 luvulla 5.

$$x=1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5 x=1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Kohota \frac{x+3}{2} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro x^{2}-8x ja \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Koska arvoilla \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} ja \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Suorita kertolaskut kohteessa \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Ilmaise 2\times \frac{x+3}{2} säännöllisenä murtolukuna.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Supista 2 ja 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x+3 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro -x-3 ja \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Koska arvoilla \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} ja \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Suorita kertolaskut kohteessa 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Ilmaise 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Supista 2 sekä osoittajasta että nimittäjästä.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Jaa jokainen yhtälön 5x^{2}-30x-3 termi luvulla 2, ja saat tulokseksi \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Selvitä \frac{25}{2} laskemalla yhteen -\frac{3}{2} ja 14.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Vähennä \frac{25}{2} molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x=-\frac{25}{2}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{5}{2}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{5}{2}x^{2}-15x}{\frac{5}{2}}=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Jakaminen luvulla \frac{5}{2} kumoaa kertomisen luvulla \frac{5}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{\frac{5}{2}}\right)x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Jaa -15 luvulla \frac{5}{2} kertomalla -15 luvun \frac{5}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}-6x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Jaa -\frac{25}{2} luvulla \frac{5}{2} kertomalla -\frac{25}{2} luvun \frac{5}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}-6x=-5$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Lisää -5 lukuun 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sievennä.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=1$$