Ratkaise x^2+sqrt{6}x+5=0

$$x ^ { 2 } + \sqrt { 6 } x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}\approx -1,224744871+1,870828693i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}\approx -1,224744871-1,870828693i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla \sqrt{6} ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Korota \sqrt{6} neliöön.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-4\times 5}}{2}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-20}}{2}$$

Lisää 6 lukuun -20.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{-14}}{2}$$

Ota luvun -14 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\sqrt{6} lukuun i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{14} luvusta -\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+\sqrt{6}x=-5$$

Jaa \sqrt{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{\sqrt{6}}{2}. Lisää sitten \frac{\sqrt{6}}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-5+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{\sqrt{6}}{2} neliöön.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-5+\frac{3}{2}$$

Lisää -5 lukuun \frac{3}{2}.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Jaa x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{2}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{14}i}{2} x+\frac{\sqrt{6}}{2}=-\frac{\sqrt{14}i}{2}$$

Vähennä \frac{\sqrt{6}}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$