Ratkaise x=4x^2-1

$$x = 4 x ^ { 2 } - 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{8}\approx 0,640388203$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}\approx -0,390388203$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-4x^{2}=-1$$

Lisää 1 molemmille puolille.

$$x-4x^{2}+1=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 1 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+16}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 1 lukuun 16.

$$x=\frac{-1±\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{17}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{17}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}-1}{-8}$$

Jaa -1+\sqrt{17} luvulla -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{17}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{17} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{-8}$$

Jaa -1-\sqrt{17} luvulla -8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{8} x=\frac{\sqrt{17}+1}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-4x^{2}=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{1}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Jaa 1 luvulla -4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{-4}$$

Jaa -1 luvulla -4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}$$

Jaa -\frac{1}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{8}. Lisää sitten -\frac{1}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{4}+\frac{1}{64}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{1}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{17}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{17}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{17}}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{17}}{8}$$

Lisää \frac{1}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{8} x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$$