Ratkaise x+yy^prime=f(x)g(sqrt{x^2+y^2})

$$x + y y ^ { \prime } = f ( x ) g ( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } )$$

Ratkaise muuttujan f suhteen (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}f=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}}{g}\text{, }&x\neq iy\text{ and }x\neq -iy\text{ and }g\neq 0\\f\in \mathrm{C}\text{, }&x=0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$fxg\sqrt{x^{2}+y^{2}}=x+y\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$gx\sqrt{x^{2}+y^{2}}f=x$$

Jaa molemmat puolet luvulla xg\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$\frac{gx\sqrt{x^{2}+y^{2}}f}{gx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{gx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$

Jakaminen luvulla xg\sqrt{x^{2}+y^{2}} kumoaa kertomisen luvulla xg\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$f=\frac{x}{gx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$

Jaa x luvulla xg\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$f=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}}{g}$$

Ratkaise muuttujan g suhteen (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}g=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}}{f}\text{, }&x\neq iy\text{ and }x\neq -iy\text{ and }f\neq 0\\g\in \mathrm{C}\text{, }&x=0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$fxg\sqrt{x^{2}+y^{2}}=x+y\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}g=x$$

Jaa molemmat puolet luvulla fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$\frac{fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}g}{fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$

Jakaminen luvulla fx\sqrt{x^{2}+y^{2}} kumoaa kertomisen luvulla fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$g=\frac{x}{fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$

Jaa x luvulla fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$g=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}}{f}$$

Ratkaise muuttujan f suhteen

$$\left\{\begin{matrix}f=\frac{1}{g\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\text{, }&g\neq 0\text{ and }x\neq 0\\f\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$fxg\sqrt{x^{2}+y^{2}}=x+y\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$gx\sqrt{x^{2}+y^{2}}f=x$$

Jaa molemmat puolet luvulla xg\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$\frac{gx\sqrt{x^{2}+y^{2}}f}{gx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{gx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$

Jakaminen luvulla xg\sqrt{x^{2}+y^{2}} kumoaa kertomisen luvulla xg\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$f=\frac{x}{gx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$

Jaa x luvulla xg\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$f=\frac{1}{g\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$

Ratkaise muuttujan g suhteen

$$\left\{\begin{matrix}g=\frac{1}{f\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\text{, }&x\neq 0\text{ and }f\neq 0\\g\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$fxg\sqrt{x^{2}+y^{2}}=x+y\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}g=x$$

Jaa molemmat puolet luvulla fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$\frac{fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}g}{fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$

Jakaminen luvulla fx\sqrt{x^{2}+y^{2}} kumoaa kertomisen luvulla fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$g=\frac{x}{fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$

Jaa x luvulla fx\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

$$g=\frac{1}{f\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$