Ratkaise x+y=8text{and}3x+2y=21

$$x + y = 8 \text { and } 3 x + 2 y = 21$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=5$$

$$y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$x+y=8,3x+2y=21$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$x+y=8$$

Vähennä y yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-y+8$$

Korvaa x arvolla -y+8 toisessa yhtälössä, 3x+2y=21.

$$3\left(-y+8\right)+2y=21$$

Kerro 3 ja -y+8.

$$-3y+24+2y=21$$

Lisää -3y lukuun 2y.

$$-y+24=21$$

Vähennä 24 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-y=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$y=3$$

Korvaa y arvolla 3 yhtälössä x=-y+8. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-3+8$$

Lisää 8 lukuun -3.

$$x=5$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=5,y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$x+y=8,3x+2y=21$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{1}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\21\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 8+21\\3\times 8-21\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=5,y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$x+y=8,3x+2y=21$$

Jos haluat saada luvut x ja 3x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1.

$$3x+3y=3\times 8,3x+2y=21$$

Sievennä.

$$3x+3y=24,3x+2y=21$$

Vähennä 3x+2y=21 lausekkeesta 3x+3y=24 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$3x-3x+3y-2y=24-21$$

Lisää 3x lukuun -3x. Termit 3x ja -3x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$3y-2y=24-21$$

Lisää 3y lukuun -2y.

$$y=24-21$$

Lisää 24 lukuun -21.

$$y=3$$

Korvaa y arvolla 3 yhtälössä 3x+2y=21. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$3x+2\times 3=21$$

Kerro 2 ja 3.

$$3x+6=21$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=5$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=5,y=3$$