Ratkaise x+y=-1text{and}2x-y=-11

$$x + y = - 1 \text { and } 2 x - y = - 11$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=-4$$

$$y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$x+y=-1,2x-y=-11$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$x+y=-1$$

Vähennä y yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-y-1$$

Korvaa x arvolla -y-1 toisessa yhtälössä, 2x-y=-11.

$$2\left(-y-1\right)-y=-11$$

Kerro 2 ja -y-1.

$$-2y-2-y=-11$$

Lisää -2y lukuun -y.

$$-3y-2=-11$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-3y=-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$y=3$$

Korvaa y arvolla 3 yhtälössä x=-y-1. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-3-1$$

Lisää -1 lukuun -3.

$$x=-4$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-4,y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$x+y=-1,2x-y=-11$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-11\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-11\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-11\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-11\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-11\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-11\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\left(-11\right)\\\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=-4,y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$x+y=-1,2x-y=-11$$

Jos haluat saada luvut x ja 2x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1.

$$2x+2y=2\left(-1\right),2x-y=-11$$

Sievennä.

$$2x+2y=-2,2x-y=-11$$

Vähennä 2x-y=-11 lausekkeesta 2x+2y=-2 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$2x-2x+2y+y=-2+11$$

Lisää 2x lukuun -2x. Termit 2x ja -2x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$2y+y=-2+11$$

Lisää 2y lukuun y.

$$3y=-2+11$$

Lisää -2 lukuun 11.

$$3y=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$y=3$$

Korvaa y arvolla 3 yhtälössä 2x-y=-11. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$2x-3=-11$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=-4$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-4,y=3$$