Ratkaise x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=3$$

$$y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$x+3y=6$$

Vähennä 3y yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-3y+6$$

Korvaa x arvolla -3y+6 toisessa yhtälössä, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Kerro 5 ja -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Lisää -15y lukuun -2y.

$$-17y+30=13$$

Vähennä 30 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-17y=-17$$

Jaa molemmat puolet luvulla -17.

$$y=1$$

Korvaa y arvolla 1 yhtälössä x=-3y+6. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-3+6$$

Lisää 6 lukuun -3.

$$x=3$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=3,y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=3,y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Jos haluat saada luvut x ja 5x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 5 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Sievennä.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Vähennä 5x-2y=13 lausekkeesta 5x+15y=30 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Lisää 5x lukuun -5x. Termit 5x ja -5x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$15y+2y=30-13$$

Lisää 15y lukuun 2y.

$$17y=30-13$$

Lisää 30 lukuun -13.

$$17y=17$$

Jaa molemmat puolet luvulla 17.

$$y=1$$

Korvaa y arvolla 1 yhtälössä 5x-2y=13. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$5x-2=13$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$x=3$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=3,y=1$$