Ratkaise x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=3$$

$$y=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$x+2y=-1$$

Vähennä 2y yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-2y-1$$

Korvaa x arvolla -2y-1 toisessa yhtälössä, 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Kerro 2 ja -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Lisää -4y lukuun -3y.

$$-7y-2=12$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-7y=14$$

Jaa molemmat puolet luvulla -7.

$$y=-2$$

Korvaa y arvolla -2 yhtälössä x=-2y-1. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Kerro -2 ja -2.

$$x=4-1$$

Lisää -1 lukuun 4.

$$x=3$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=3,y=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=3,y=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Jos haluat saada luvut x ja 2x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Sievennä.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Vähennä 2x-3y=12 lausekkeesta 2x+4y=-2 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Lisää 2x lukuun -2x. Termit 2x ja -2x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$4y+3y=-2-12$$

Lisää 4y lukuun 3y.

$$7y=-2-12$$

Lisää -2 lukuun -12.

$$7y=-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$y=-2$$

Korvaa y arvolla -2 yhtälössä 2x-3y=12. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Kerro -3 ja -2.

$$2x+6=12$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=3$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=3,y=-2$$