Ratkaise x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 6, joka on lukujen 2,3 pienin yhteinen jaettava.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Laske lukujen 3 ja 3x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Selvitä 15x yhdistämällä 6x ja 9x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Laske lukujen -2 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Selvitä 13x yhdistämällä 15x ja -2x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen 3 ja 4.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Vähennä 6x^{2} molemmilta puolilta.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Lisää 12 molemmille puolille.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Selvitä 19 laskemalla yhteen 7 ja 12.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -6x^{2}+ax+bx+19. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 13.

$$a=19 b=-6$$

Kirjoita \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right) uudelleen muodossa -6x^{2}+13x+19.

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Ota -x tekijäksi ensimmäisessä ja -1 toisessa ryhmässä.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 6x-19 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 6x-19=0 ja -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 6, joka on lukujen 2,3 pienin yhteinen jaettava.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Laske lukujen 3 ja 3x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Selvitä 15x yhdistämällä 6x ja 9x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Laske lukujen -2 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Selvitä 13x yhdistämällä 15x ja -2x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen 3 ja 4.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Vähennä 6x^{2} molemmilta puolilta.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Lisää 12 molemmille puolille.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Selvitä 19 laskemalla yhteen 7 ja 12.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -6, b luvulla 13 ja c luvulla 19 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Korota 13 neliöön.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro -4 ja -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 24 ja 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Lisää 169 lukuun 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Ota luvun 625 neliöjuuri.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 2 ja -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±25}{-12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -13 lukuun 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Jaa 12 luvulla -12.

$$x=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±25}{-12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 25 luvusta -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Supista murtoluku \frac{-38}{-12} luvulla 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 6, joka on lukujen 2,3 pienin yhteinen jaettava.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Laske lukujen 3 ja 3x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Selvitä 15x yhdistämällä 6x ja 9x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Laske lukujen -2 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Selvitä 13x yhdistämällä 15x ja -2x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen 3 ja 4.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Vähennä 6x^{2} molemmilta puolilta.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Vähennä 7 molemmilta puolilta.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Vähennä 7 luvusta -12 saadaksesi tuloksen -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Jaa molemmat puolet luvulla -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Jakaminen luvulla -6 kumoaa kertomisen luvulla -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Jaa 13 luvulla -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Jaa -19 luvulla -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Jaa -\frac{13}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{12}. Lisää sitten -\frac{13}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Lisää \frac{19}{6} lukuun \frac{169}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Lisää \frac{13}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$