Ratkaise w^2-w=8

$$w ^ { 2 } - w = 8$$

Ratkaise muuttujan w suhteen

$$w = \frac{\sqrt{33} + 1}{2} \approx 3,372281323$$

$$w=\frac{1-\sqrt{33}}{2}\approx -2,372281323$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$w^{2}-w=8$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$w^{2}-w-8=8-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$w^{2}-w-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -1 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-8\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -8.

$$w=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+32}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 32.

$$w=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{33}}{2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$w=\frac{1±\sqrt{33}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö w=\frac{1±\sqrt{33}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun \sqrt{33}.

$$w=\frac{\sqrt{33}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö w=\frac{1±\sqrt{33}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{33} luvusta 1.

$$w=\frac{1-\sqrt{33}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$w=\frac{\sqrt{33}+1}{2} w=\frac{1-\sqrt{33}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$w^{2}-w=8$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$w^{2}-w+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=8+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$w^{2}-w+\frac{1}{4}=8+\frac{1}{4}$$

Lisää 8 lukuun \frac{1}{4}.

$$w^{2}-w+\frac{1}{4}=\frac{33}{4}$$

Jaa w^{2}-w+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(w-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

Sievennä.

$$w-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} w-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$w=\frac{\sqrt{33}+1}{2} w=\frac{1-\sqrt{33}}{2}$$