Ratkaise t^2-8t^2+16t=12

$$t ^ { 2 } - 8 t ^ { 2 } + 16 t = 12$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{-2\sqrt{5}i+8}{7}\approx 1,142857143-0,638876565i$$

$$t=\frac{8+2\sqrt{5}i}{7}\approx 1,142857143+0,638876565i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä -7t^{2} yhdistämällä t^{2} ja -8t^{2}.

$$-7t^{2}+16t=12$$

Vähennä 12 molemmilta puolilta.

$$-7t^{2}+16t-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -7, b luvulla 16 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-7\right)\left(-12\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Korota 16 neliöön.

$$t=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-7\right)\left(-12\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Kerro -4 ja -7.

$$t=\frac{-16±\sqrt{256+28\left(-12\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Kerro 28 ja -12.

$$t=\frac{-16±\sqrt{256-336}}{2\left(-7\right)}$$

Lisää 256 lukuun -336.

$$t=\frac{-16±\sqrt{-80}}{2\left(-7\right)}$$

Ota luvun -80 neliöjuuri.

$$t=\frac{-16±4\sqrt{5}i}{2\left(-7\right)}$$

Kerro 2 ja -7.

$$t=\frac{-16±4\sqrt{5}i}{-14}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-16±4\sqrt{5}i}{-14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 4i\sqrt{5}.

$$t=\frac{-16+4\sqrt{5}i}{-14}$$

Jaa -16+4i\sqrt{5} luvulla -14.

$$t=\frac{-2\sqrt{5}i+8}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-16±4\sqrt{5}i}{-14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{5} luvusta -16.

$$t=\frac{-4\sqrt{5}i-16}{-14}$$

Jaa -16-4i\sqrt{5} luvulla -14.

$$t=\frac{8+2\sqrt{5}i}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{-2\sqrt{5}i+8}{7} t=\frac{8+2\sqrt{5}i}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä -7t^{2} yhdistämällä t^{2} ja -8t^{2}.

$$-7t^{2}+16t=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla -7.

$$\frac{-7t^{2}+16t}{-7}=\frac{12}{-7}$$

Jakaminen luvulla -7 kumoaa kertomisen luvulla -7.

$$t^{2}+\frac{16}{-7}t=\frac{12}{-7}$$

Jaa 16 luvulla -7.

$$t^{2}-\frac{16}{7}t=\frac{12}{-7}$$

Jaa 12 luvulla -7.

$$t^{2}-\frac{16}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Jaa -\frac{16}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{8}{7}. Lisää sitten -\frac{8}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{16}{7}t+\left(-\frac{8}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{8}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{8}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{16}{7}t+\frac{64}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{64}{49}$$

Lisää -\frac{12}{7} lukuun \frac{64}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{16}{7}t+\frac{64}{49}=-\frac{20}{49}$$

Jaa t^{2}-\frac{16}{7}t+\frac{64}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{8}{7}\right)^{2}=-\frac{20}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{8}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{49}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{8}{7}=\frac{2\sqrt{5}i}{7} t-\frac{8}{7}=-\frac{2\sqrt{5}i}{7}$$

Lisää \frac{8}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{8+2\sqrt{5}i}{7} t=\frac{-2\sqrt{5}i+8}{7}$$