Ratkaise t^2-6t+1geq0

$$t ^ { 2 } - 6 t + 1 \geq 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2}+3,\infty)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$t^{2}-6t+1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -6 tilalle b ja muuttujan 1 tilalle c.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=2\sqrt{2}+3 t=3-2\sqrt{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\left(t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\right)\left(t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\right)\geq 0$$

Jotta tulo on ≥0, arvojen t-\left(2\sqrt{2}+3\right) ja t-\left(3-2\sqrt{2}\right) on molempien oltava ≤0 tai ≥0. Tarkastele tapausta, jossa t-\left(2\sqrt{2}+3\right) ja t-\left(3-2\sqrt{2}\right) ovat molemmat ≤0.

$$t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\leq 0 t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on t\leq 3-2\sqrt{2}.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}$$

Tarkastele tapausta, jossa t-\left(2\sqrt{2}+3\right) ja t-\left(3-2\sqrt{2}\right) ovat molemmat ≥0.

$$t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\geq 0 t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\geq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on t\geq 2\sqrt{2}+3.

$$t\geq 2\sqrt{2}+3$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}\text{; }t\geq 2\sqrt{2}+3$$