Ratkaise t^2-3t-4=0

$$t ^ { 2 } - 3 t - 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=-1$$

$$t=4$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen t^{2}-3t-4 tekijöihin käyttämällä kaavaa t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-3 ab=-4$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -4.

$$1,-4 2,-2$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -3.

$$a=-4 b=1$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(t+a\right)\left(t+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt t-4=0 ja t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon t^{2}+at+bt-4. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -4.

$$1,-4 2,-2$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -3.

$$a=-4 b=1$$

Kirjoita \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right) uudelleen muodossa t^{2}-3t-4.

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Ota t tekijäksi lausekkeessa t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Ota tekijäksi yhteinen termi t-4 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt t-4=0 ja t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -3 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -4.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2}$$

Lisää 9 lukuun 16.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±5}{2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$t=\frac{3±5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{3±5}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 5.

$$t=\frac{8}{2}$$

Jaa 8 luvulla 2.

$$t=4$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{3±5}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta 3.

$$t=-\frac{2}{2}$$

Jaa -2 luvulla 2.

$$t=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=4 t=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$t^{2}-3t-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$t^{2}-3t=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$t^{2}-3t=4$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Lisää 4 lukuun \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Jaa t^{2}-3t+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=4 t=-1$$