Ratkaise t^2-3t-2=0

$$t ^ { 2 } - 3 t - 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{\sqrt{17} + 3}{2} \approx 3,561552813$$

$$t=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\approx -0,561552813$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$t^{2}-3t-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -3 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+8}}{2}$$

Lisää 9 lukuun 8.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{17}}{2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$t=\frac{3±\sqrt{17}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{3±\sqrt{17}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun \sqrt{17}.

$$t=\frac{\sqrt{17}+3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{3±\sqrt{17}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{17} luvusta 3.

$$t=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{\sqrt{17}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-3t-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$t^{2}-3t-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$t^{2}-3t=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$t^{2}-3t=2$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=2+\frac{9}{4}$$

Lisää 2 lukuun \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{17}{4}$$

Jaa t^{2}-3t+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{\sqrt{17}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$$