Ratkaise t^2-12t-11=0

$$t ^ { 2 } - 12 t - 11 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\sqrt{47}+6\approx 12,8556546$$

$$t=6-\sqrt{47}\approx -0,8556546$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$t^{2}-12t-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -12 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Korota -12 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-11\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -11.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+44}}{2}$$

Lisää 144 lukuun 44.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{188}}{2}$$

Ota luvun 188 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{47}}{2}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$t=\frac{12±2\sqrt{47}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{12±2\sqrt{47}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 2\sqrt{47}.

$$t=\frac{2\sqrt{47}+12}{2}$$

Jaa 12+2\sqrt{47} luvulla 2.

$$t=\sqrt{47}+6$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{12±2\sqrt{47}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{47} luvusta 12.

$$t=\frac{12-2\sqrt{47}}{2}$$

Jaa 12-2\sqrt{47} luvulla 2.

$$t=6-\sqrt{47}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\sqrt{47}+6 t=6-\sqrt{47}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-12t-11=0$$

Lisää 11 yhtälön kummallekin puolelle.

$$t^{2}-12t-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Kun luku -11 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$t^{2}-12t=-\left(-11\right)$$

Vähennä -11 luvusta 0.

$$t^{2}-12t=11$$

Jaa -12 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -6. Lisää sitten -6:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-12t+\left(-6\right)^{2}=11+\left(-6\right)^{2}$$

Korota -6 neliöön.

$$t^{2}-12t+36=11+36$$

Lisää 11 lukuun 36.

$$t^{2}-12t+36=47$$

Jaa t^{2}-12t+36 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-6\right)^{2}=47$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-6\right)^{2}}=\sqrt{47}$$

Sievennä.

$$t-6=\sqrt{47} t-6=-\sqrt{47}$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\sqrt{47}+6 t=6-\sqrt{47}$$