Ratkaise t^2+4t+1=3

$$t ^ { 2 } + 4 t + 1 = 3$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\sqrt{6}-2\approx 0,449489743$$

$$t=-\sqrt{6}-2\approx -4,449489743$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$t^{2}+4t+1=3$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$t^{2}+4t+1-3=3-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$t^{2}+4t+1-3=0$$

Vähennä 3 luvusta 1.

$$t^{2}+4t-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 4 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$t=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -2.

$$t=\frac{-4±\sqrt{16+8}}{2}$$

Lisää 16 lukuun 8.

$$t=\frac{-4±\sqrt{24}}{2}$$

Ota luvun 24 neliöjuuri.

$$t=\frac{-4±2\sqrt{6}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-4±2\sqrt{6}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{6}.

$$t=\frac{2\sqrt{6}-4}{2}$$

Jaa -4+2\sqrt{6} luvulla 2.

$$t=\sqrt{6}-2$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-4±2\sqrt{6}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{6} luvusta -4.

$$t=\frac{-2\sqrt{6}-4}{2}$$

Jaa -4-2\sqrt{6} luvulla 2.

$$t=-\sqrt{6}-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\sqrt{6}-2 t=-\sqrt{6}-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$t^{2}+4t+1=3$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$t^{2}+4t+1-1=3-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$t^{2}+4t=3-1$$

Vähennä 1 luvusta 3.

$$t^{2}+4t=2$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}+4t+2^{2}=2+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$t^{2}+4t+4=2+4$$

Lisää 2 lukuun 4.

$$t^{2}+4t+4=6$$

Jaa t^{2}+4t+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+2\right)^{2}=6$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t+2\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Sievennä.

$$t+2=\sqrt{6} t+2=-\sqrt{6}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$t=\sqrt{6}-2 t=-\sqrt{6}-2$$