Ratkaise r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan r suhteen

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -22 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Korota -22 neliöön.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Lisää 484 lukuun 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Ota luvun 512 neliöjuuri.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Luvun -22 vastaluku on 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 22 lukuun 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Jaa 22+16\sqrt{2} luvulla 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16\sqrt{2} luvusta 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Jaa 22-16\sqrt{2} luvulla 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Vähennä -7 luvusta 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Jaa -22 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -11. Lisää sitten -11:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Korota -11 neliöön.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Lisää 7 lukuun 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Jaa r^{2}-22r+121 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Sievennä.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Lisää 11 yhtälön kummallekin puolelle.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$