Ratkaise q^2-10q+5=0

$$q ^ { 2 } - 10 q + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan q suhteen

$$q=2\sqrt{5}+5\approx 9,472135955$$

$$q=5-2\sqrt{5}\approx 0,527864045$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$q^{2}-10q+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -10 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Korota -10 neliöön.

$$q=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5}}{2}$$

Kerro -4 ja 5.

$$q=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20}}{2}$$

Lisää 100 lukuun -20.

$$q=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Ota luvun 80 neliöjuuri.

$$q=\frac{-\left(-10\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$q=\frac{10±4\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö q=\frac{10±4\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 4\sqrt{5}.

$$q=\frac{4\sqrt{5}+10}{2}$$

Jaa 10+4\sqrt{5} luvulla 2.

$$q=2\sqrt{5}+5$$

Ratkaise nyt yhtälö q=\frac{10±4\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{5} luvusta 10.

$$q=\frac{10-4\sqrt{5}}{2}$$

Jaa 10-4\sqrt{5} luvulla 2.

$$q=5-2\sqrt{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$q=2\sqrt{5}+5 q=5-2\sqrt{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$q^{2}-10q+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$q^{2}-10q+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$q^{2}-10q=-5$$

Jaa -10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -5. Lisää sitten -5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$q^{2}-10q+\left(-5\right)^{2}=-5+\left(-5\right)^{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$q^{2}-10q+25=-5+25$$

Lisää -5 lukuun 25.

$$q^{2}-10q+25=20$$

Jaa q^{2}-10q+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-5\right)^{2}=20$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(q-5\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

Sievennä.

$$q-5=2\sqrt{5} q-5=-2\sqrt{5}$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$q=2\sqrt{5}+5 q=5-2\sqrt{5}$$