Ratkaise p^2-18p+50=0

$$p ^ { 2 } - 18 p + 50 = 0$$

Ratkaise muuttujan p suhteen

$$p=\sqrt{31}+9\approx 14,567764363$$

$$p=9-\sqrt{31}\approx 3,432235637$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$p^{2}-18p+50=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -18 ja c luvulla 50 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 50}}{2}$$

Korota -18 neliöön.

$$p=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 50}}{2}$$

Kerro -4 ja 50.

$$p=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-200}}{2}$$

Lisää 324 lukuun -200.

$$p=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{124}}{2}$$

Ota luvun 124 neliöjuuri.

$$p=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{31}}{2}$$

Luvun -18 vastaluku on 18.

$$p=\frac{18±2\sqrt{31}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{18±2\sqrt{31}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 18 lukuun 2\sqrt{31}.

$$p=\frac{2\sqrt{31}+18}{2}$$

Jaa 18+2\sqrt{31} luvulla 2.

$$p=\sqrt{31}+9$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{18±2\sqrt{31}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{31} luvusta 18.

$$p=\frac{18-2\sqrt{31}}{2}$$

Jaa 18-2\sqrt{31} luvulla 2.

$$p=9-\sqrt{31}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$p=\sqrt{31}+9 p=9-\sqrt{31}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$p^{2}-18p+50=0$$

Vähennä 50 yhtälön molemmilta puolilta.

$$p^{2}-18p+50-50=-50$$

Kun luku 50 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$p^{2}-18p=-50$$

Jaa -18 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -9. Lisää sitten -9:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$p^{2}-18p+\left(-9\right)^{2}=-50+\left(-9\right)^{2}$$

Korota -9 neliöön.

$$p^{2}-18p+81=-50+81$$

Lisää -50 lukuun 81.

$$p^{2}-18p+81=31$$

Jaa p^{2}-18p+81 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-9\right)^{2}=31$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(p-9\right)^{2}}=\sqrt{31}$$

Sievennä.

$$p-9=\sqrt{31} p-9=-\sqrt{31}$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$p=\sqrt{31}+9 p=9-\sqrt{31}$$