Ratkaise n^2-n=120

$$n ^ { 2 } - n = 120$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n = \frac{\sqrt{481} + 1}{2} \approx 11,4658561$$

$$n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}\approx -10,4658561$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$n^{2}-n=120$$

Vähennä 120 yhtälön molemmilta puolilta.

$$n^{2}-n-120=120-120$$

Kun luku 120 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$n^{2}-n-120=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -1 ja c luvulla -120 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-120\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -120.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+480}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 480.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{481}}{2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$n=\frac{1±\sqrt{481}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{1±\sqrt{481}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun \sqrt{481}.

$$n=\frac{\sqrt{481}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{1±\sqrt{481}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{481} luvusta 1.

$$n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{\sqrt{481}+1}{2} n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=120$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=120+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=120+\frac{1}{4}$$

Lisää 120 lukuun \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{481}{4}$$

Jaa n^{2}-n+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{481}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{481}{4}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{481}}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{481}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=\frac{\sqrt{481}+1}{2} n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}$$