Ratkaise n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n=-4$$

$$n=15$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Jos haluat ratkaista kaavan, kerroin n^{2}-11n-60 käyttämällä kaavaa n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -11.

$$a=-15 b=4$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(n+a\right)\left(n+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista n-15=0 ja n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon n^{2}+an+bn-60. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -11.

$$a=-15 b=4$$

Kirjoita \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) uudelleen muodossa n^{2}-11n-60.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Jaa n toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Jaa yleinen termi n-15 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista n-15=0 ja n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -11 ja c luvulla -60 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Korota -11 neliöön.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Lisää 121 lukuun 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Ota luvun 361 neliöjuuri.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{11±19}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Jaa 30 luvulla 2.

$$n=15$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{11±19}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 19 luvusta 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Jaa -8 luvulla 2.

$$n=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=15 n=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Lisää 60 yhtälön kummallekin puolelle.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Kun luku -60 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Vähennä -60 luvusta 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Jaa -11 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{2}. Lisää sitten -\frac{11}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Lisää 60 lukuun \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Jaa n^{2}-11n+\frac{121}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Lisää \frac{11}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=15 n=-4$$