Ratkaise n^2-sqrt{3}n+1=0

$$n ^ { 2 } - \sqrt { 3 } n + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n=\frac{\sqrt{3}+i}{2}\approx 0,866025404+0,5i$$

$$n=\frac{\sqrt{3}-i}{2}\approx 0,866025404-0,5i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Järjestä termit uudelleen.

$$n^{2}-\sqrt{3}n+1=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -\sqrt{3} ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^{2}-4}}{2}$$

Korota -\sqrt{3} neliöön.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{3-4}}{2}$$

Lisää 3 lukuun -4.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{-1}}{2}$$

Ota luvun -1 neliöjuuri.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±i}{2}$$

Luvun -\sqrt{3} vastaluku on \sqrt{3}.

$$n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \sqrt{3} lukuun i.

$$n=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

Jaa \sqrt{3}+i luvulla 2.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i luvusta \sqrt{3}.

$$n=\frac{\sqrt{3}-i}{2}$$

Jaa \sqrt{3}-i luvulla 2.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$n^{2}-\sqrt{3}n=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n=-1$$

Jaa -\sqrt{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{\sqrt{3}}{2}. Lisää sitten -\frac{\sqrt{3}}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{\sqrt{3}}{2} neliöön.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}=-1+\frac{3}{4}$$

Lisää -1 lukuun \frac{3}{4}.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Jaa n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}i n-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Lisää \frac{\sqrt{3}}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$