Ratkaise n^2+n-102=0

$$n ^ { 2 } + n - 102 = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n = \frac{\sqrt{409} - 1}{2} \approx 9,611874208$$

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}\approx -10,611874208$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$n^{2}+n-102=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 1 ja c luvulla -102 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-102\right)}}{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-102\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -102.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+408}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 408.

$$n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{409}.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{409} luvusta -1.

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+n-102=0$$

Lisää 102 yhtälön kummallekin puolelle.

$$n^{2}+n-102-\left(-102\right)=-\left(-102\right)$$

Kun luku -102 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$n^{2}+n=-\left(-102\right)$$

Vähennä -102 luvusta 0.

$$n^{2}+n=102$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=102+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=102+\frac{1}{4}$$

Lisää 102 lukuun \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{409}{4}$$

Jaa n^{2}+n+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

Sievennä.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$