Ratkaise f(x)=5x^2+10x-15

$$f ( x ) = 5 x ^ { 2 } + 10 x - 15$$

Jaa tekijöihin

$$5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa tekijöihin 5:n suhteen.

$$5\left(x^{2}+2x-3\right)$$

Tarkastele lauseketta x^{2}+2x-3. Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa x^{2}+ax+bx-3. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=-1 b=3$$

Kirjoita \left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right) uudelleen muodossa x^{2}+2x-3.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 3 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Kirjoita koko tekijöihin jaettu lauseke uudelleen.

$$5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$5x^{2}+10x-15=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Korota 10 neliöön.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -15.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Lisää 100 lukuun 300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Ota luvun 400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-10±20}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-10±20}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±20}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Jaa 10 luvulla 10.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±20}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20 luvusta -10.

$$x=-\frac{30}{10}$$

Jaa -30 luvulla 10.

$$x=-3$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa 1 kohteella x_{1} ja -3 kohteella x_{2}.

$$5x^{2}+10x-15=5\left(x-1\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$5x^{2}+10x-15=5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Laske

$$5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$