Ratkaise f(x)=2x^2+x=1

$$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + x = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=-1 b=2$$

Kirjoita \left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+x-1.

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right)$$

Ota x tekijäksi lausekkeessa 2x^{2}-x.

$$x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Jaa yleinen termi 2x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-1=0 ja x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+x=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+x-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 1 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±3}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-1±3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±3}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 3.

$$x=\frac{2}{4}$$

Supista murtoluku \frac{2}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±3}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta -1.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Jaa \frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{4}. Lisää sitten \frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$