Ratkaise f(x)=-x^2+4x+1

$$f ( x ) = - x ^ { 2 } + 4 x + 1$$

Jaa tekijöihin

$$-\left(x-\left(2-\sqrt{5}\right)\right)\left(x-\left(\sqrt{5}+2\right)\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$-x^{2}+4x+1=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 16 lukuun 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{-2}$$

Jaa -4+2\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{-2}$$

Jaa -4-2\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa 2-\sqrt{5} kohteella x_{1} ja 2+\sqrt{5} kohteella x_{2}.

$$-x^{2}+4x+1=-\left(x-\left(2-\sqrt{5}\right)\right)\left(x-\left(\sqrt{5}+2\right)\right)$$

Laske

$$1+4x-x^{2}$$