Ratkaise f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

Laske

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Ratkaisun vaiheet

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int t^{3}\mathrm{d}t \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}. Kerro 2 ja \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

Etsi kohteen 1 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}t=at avulla.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Sievennä.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$x^{3}+2x^{2}+1$$