Ratkaise f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Laske

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Ratkaisun vaiheet

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Korvaa \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3} \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} alkaen k\neq -1.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Korvaa \int t\mathrm{d}t \frac{t^{2}}{2} \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} alkaen k\neq -1. Kerro -1 ja \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Sievennä.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$x\left(x-1\right)$$