Ratkaise f(x)=x/x^2-6x-16

$$f ( x ) = \frac { x } { x ^ { 2 } - 6 x - 16 }$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$-\frac{x^{2}+16}{\left(\left(x-8\right)\left(x+2\right)\right)^{2}}$$

Vaiheet, joissa käytetään osamäärän derivaattasääntöä

Kun tarkastellaan kahta derivoituvaa funktiota, funktioiden osamäärän derivaatta on nimittäjä kertaa osoittajan derivaatta miinus osoittaja kertaa nimittäjän derivaatta ja tämä kaikki jaettuna nimittäjän neliöllä.

$$\frac{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1})-x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-6x^{1}-16)}{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)^{2}}$$

Polynomin derivaatta on sen termien derivaattojen summa. Vakiotermin derivaatta on 0. Lausekkeen ax^{n} derivaatta on nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)x^{1-1}-x^{1}\left(2x^{2-1}-6x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)^{2}}$$

Sievennä.

$$\frac{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)x^{0}-x^{1}\left(2x^{1}-6x^{0}\right)}{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)^{2}}$$

Kerro x^{2}-6x^{1}-16 ja x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}-6x^{1}x^{0}-16x^{0}-x^{1}\left(2x^{1}-6x^{0}\right)}{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)^{2}}$$

Kerro x^{1} ja 2x^{1}-6x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}-6x^{1}x^{0}-16x^{0}-\left(x^{1}\times 2x^{1}+x^{1}\left(-6\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)^{2}}$$

Jos haluat kertoa samankantaiset potenssit, laske niiden eksponentit yhteen.

$$\frac{x^{2}-6x^{1}-16x^{0}-\left(2x^{1+1}-6x^{1}\right)}{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)^{2}}$$

Sievennä.

$$\frac{x^{2}-6x^{1}-16x^{0}-\left(2x^{2}-6x^{1}\right)}{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)^{2}}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\frac{-x^{2}-16x^{0}}{\left(x^{2}-6x^{1}-16\right)^{2}}$$

Mille tahansa termille t pätee t^{1}=t.

$$\frac{-x^{2}-16x^{0}}{\left(x^{2}-6x-16\right)^{2}}$$

Luvulle t, joka ei ole 0, pätee t^{0}=1.

$$\frac{-x^{2}-16}{\left(x^{2}-6x-16\right)^{2}}$$

Laske

$$\frac{x}{\left(x-8\right)\left(x+2\right)}$$