Ratkaise f^prime(x)=-ax^2-2bx+ac/(x^2+c)^2

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - a x ^ { 2 } - 2 b x + a c } { ( x ^ { 2 } + c ) ^ { 2 } }$$

Ratkaise muuttujan a suhteen (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{2bx}{x^{2}-c}\text{, }&c\neq x^{2}\text{ and }c\neq -x^{2}\\a\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }c=x^{2}\text{ and }x\neq 0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x^{2}+c\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{2}+c\right)^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x^{2}+c\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{4}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Laske lukujen \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x ja x^{4}+2x^{2}c+c^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}$$

Lisää 2bx molemmille puolille.

$$\left(-a\right)x^{2}+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}+2bx$$

Järjestä termit uudelleen.

$$-ax^{2}+ac=x^{5}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2cx^{3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+xc^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2bx$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät a:n.

$$\left(-x^{2}+c\right)a=x^{5}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2cx^{3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+xc^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2bx$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$\left(c-x^{2}\right)a=2bx$$

Jaa molemmat puolet luvulla -x^{2}+c.

$$\frac{\left(c-x^{2}\right)a}{c-x^{2}}=\frac{2bx}{c-x^{2}}$$

Jakaminen luvulla -x^{2}+c kumoaa kertomisen luvulla -x^{2}+c.

$$a=\frac{2bx}{c-x^{2}}$$

Ratkaise muuttujan b suhteen (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}b=\frac{a\left(c-x^{2}\right)}{2x}\text{, }&x\neq 0\text{ and }c\neq -x^{2}\\b\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\text{ and }x=0\text{ and }c\neq 0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x^{2}+c\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{2}+c\right)^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x^{2}+c\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{4}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Laske lukujen \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x ja x^{4}+2x^{2}c+c^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}$$

Vähennä \left(-a\right)x^{2} molemmilta puolilta.

$$-2bx+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}-\left(-a\right)x^{2}$$

Vähennä ac molemmilta puolilta.

$$-2bx=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}-\left(-a\right)x^{2}-ac$$

Kerro -1 ja -1, niin saadaan 1.

$$-2bx=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}+ax^{2}-ac$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$\left(-2x\right)b=ax^{2}-ac$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2x.

$$\frac{\left(-2x\right)b}{-2x}=\frac{a\left(x^{2}-c\right)}{-2x}$$

Jakaminen luvulla -2x kumoaa kertomisen luvulla -2x.

$$b=\frac{a\left(x^{2}-c\right)}{-2x}$$

Jaa a\left(x^{2}-c\right) luvulla -2x.

$$b=-\frac{ax}{2}+\frac{ac}{2x}$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{2bx}{x^{2}-c}\text{, }&|c|\neq x^{2}\\a\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }c=x^{2}\text{ and }x\neq 0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x^{2}+c\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{2}+c\right)^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x^{2}+c\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{4}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Laske lukujen \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x ja x^{4}+2x^{2}c+c^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}$$

Lisää 2bx molemmille puolille.

$$\left(-a\right)x^{2}+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}+2bx$$

Järjestä termit uudelleen.

$$-ax^{2}+ac=x^{5}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2cx^{3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+xc^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2bx$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät a:n.

$$\left(-x^{2}+c\right)a=x^{5}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2cx^{3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+xc^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)+2bx$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$\left(c-x^{2}\right)a=2bx$$

Jaa molemmat puolet luvulla -x^{2}+c.

$$\frac{\left(c-x^{2}\right)a}{c-x^{2}}=\frac{2bx}{c-x^{2}}$$

Jakaminen luvulla -x^{2}+c kumoaa kertomisen luvulla -x^{2}+c.

$$a=\frac{2bx}{c-x^{2}}$$

Ratkaise muuttujan b suhteen

$$\left\{\begin{matrix}b=\frac{a\left(c-x^{2}\right)}{2x}\text{, }&x\neq 0\text{ and }c\neq -x^{2}\\b\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\text{ and }x=0\text{ and }c\neq 0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x^{2}+c\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{2}+c\right)^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x^{2}+c\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x\left(x^{4}+2x^{2}c+c^{2}\right)=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Laske lukujen \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x ja x^{4}+2x^{2}c+c^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}=\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$\left(-a\right)x^{2}-2bx+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}$$

Vähennä \left(-a\right)x^{2} molemmilta puolilta.

$$-2bx+ac=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}-\left(-a\right)x^{2}$$

Vähennä ac molemmilta puolilta.

$$-2bx=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}-\left(-a\right)x^{2}-ac$$

Kerro -1 ja -1, niin saadaan 1.

$$-2bx=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)x^{5}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)cx^{3}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)xc^{2}+ax^{2}-ac$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$\left(-2x\right)b=ax^{2}-ac$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2x.

$$\frac{\left(-2x\right)b}{-2x}=\frac{a\left(x^{2}-c\right)}{-2x}$$

Jakaminen luvulla -2x kumoaa kertomisen luvulla -2x.

$$b=\frac{a\left(x^{2}-c\right)}{-2x}$$

Jaa a\left(x^{2}-c\right) luvulla -2x.

$$b=-\frac{ax}{2}+\frac{ac}{2x}$$