Ratkaise ex^2+3x+4=0

$$e x ^ { 2 } + 3 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e}\approx -0,551819162+1,080283934i$$

$$x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}\approx -0,551819162-1,080283934i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$ex^{2}+3x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla e, b luvulla 3 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4e\times 4}}{2e}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4e\times 4}}{2e}$$

Kerro -4 ja e.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\left(-4e\right)\times 4}}{2e}$$

Kerro -4e ja 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16e}}{2e}$$

Ota luvun 9-16e neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun i\sqrt{-\left(9-16e\right)}.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{-\left(9-16e\right)} luvusta -3.

$$x=\frac{-i\sqrt{16e-9}-3}{2e}$$

Jaa -3-i\sqrt{-9+16e} luvulla 2e.

$$x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e} x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$ex^{2}+3x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$ex^{2}+3x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$ex^{2}+3x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla e.

$$\frac{ex^{2}+3x}{e}=-\frac{4}{e}$$

Jakaminen luvulla e kumoaa kertomisen luvulla e.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x=-\frac{4}{e}$$

Jaa \frac{3}{e} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2e}. Lisää sitten \frac{3}{2e}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\left(\frac{3}{2e}\right)^{2}=-\frac{4}{e}+\left(\frac{3}{2e}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2e} neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}=-\frac{4}{e}+\frac{9}{4e^{2}}$$

Lisää -\frac{4}{e} lukuun \frac{9}{4e^{2}}.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}=\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2e}\right)^{2}=\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2e}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2e}=\frac{i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} x+\frac{3}{2e}=-\frac{i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Vähennä \frac{3}{2e} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e} x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$