Ratkaise b^2+2b-5=0

$$b ^ { 2 } + 2 b - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan b suhteen (complex solution)

$$b=\sqrt{6}-1\approx 1,449489743$$

$$b=-\left(\sqrt{6}+1\right)\approx -3,449489743$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$b^{2}+2b-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$b=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -5.

$$b=\frac{-2±\sqrt{4+20}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 20.

$$b=\frac{-2±\sqrt{24}}{2}$$

Ota luvun 24 neliöjuuri.

$$b=\frac{-2±2\sqrt{6}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{-2±2\sqrt{6}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{6}.

$$b=\frac{2\sqrt{6}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{6} luvulla 2.

$$b=\sqrt{6}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{-2±2\sqrt{6}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{6} luvusta -2.

$$b=\frac{-2\sqrt{6}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{6} luvulla 2.

$$b=-\sqrt{6}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$b=\sqrt{6}-1 b=-\sqrt{6}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$b^{2}+2b-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$b^{2}+2b-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$b^{2}+2b=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$b^{2}+2b=5$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$b^{2}+2b+1^{2}=5+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$b^{2}+2b+1=5+1$$

Lisää 5 lukuun 1.

$$b^{2}+2b+1=6$$

Jaa b^{2}+2b+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b+1\right)^{2}=6$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(b+1\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Sievennä.

$$b+1=\sqrt{6} b+1=-\sqrt{6}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$b=\sqrt{6}-1 b=-\sqrt{6}-1$$

Ratkaise muuttujan b suhteen

$$b=\sqrt{6}-1\approx 1,449489743$$

$$b=-\sqrt{6}-1\approx -3,449489743$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$b^{2}+2b-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$b=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -5.

$$b=\frac{-2±\sqrt{4+20}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 20.

$$b=\frac{-2±\sqrt{24}}{2}$$

Ota luvun 24 neliöjuuri.

$$b=\frac{-2±2\sqrt{6}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{-2±2\sqrt{6}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{6}.

$$b=\frac{2\sqrt{6}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{6} luvulla 2.

$$b=\sqrt{6}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{-2±2\sqrt{6}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{6} luvusta -2.

$$b=\frac{-2\sqrt{6}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{6} luvulla 2.

$$b=-\sqrt{6}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$b=\sqrt{6}-1 b=-\sqrt{6}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$b^{2}+2b-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$b^{2}+2b-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$b^{2}+2b=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$b^{2}+2b=5$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$b^{2}+2b+1^{2}=5+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$b^{2}+2b+1=5+1$$

Lisää 5 lukuun 1.

$$b^{2}+2b+1=6$$

Jaa b^{2}+2b+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b+1\right)^{2}=6$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(b+1\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Sievennä.

$$b+1=\sqrt{6} b+1=-\sqrt{6}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$b=\sqrt{6}-1 b=-\sqrt{6}-1$$