Ratkaise a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -68 tilalle b ja muuttujan 225 tilalle c.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Ratkaise yhtälö a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Jotta tulo on ≤0, jommankumman arvoista a-\left(7\sqrt{19}+34\right) ja a-\left(34-7\sqrt{19}\right) on oltava ≥0 ja toisen on oltava ≤0. Tarkastele tapausta, jossa a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 ja a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Tämä on epätosi kaikilla a:n arvoilla.

$$a\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 ja a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$