Ratkaise a^2+a=7

$$a ^ { 2 } + a = 7$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a = \frac{\sqrt{29} - 1}{2} \approx 2,192582404$$

$$a=\frac{-\sqrt{29}-1}{2}\approx -3,192582404$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$a^{2}+a=7$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$a^{2}+a-7=7-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$a^{2}+a-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 1 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$a=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -7.

$$a=\frac{-1±\sqrt{1+28}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 28.

$$a=\frac{-1±\sqrt{29}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-1±\sqrt{29}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{29}.

$$a=\frac{\sqrt{29}-1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-1±\sqrt{29}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{29} luvusta -1.

$$a=\frac{-\sqrt{29}-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\frac{\sqrt{29}-1}{2} a=\frac{-\sqrt{29}-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$a^{2}+a=7$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}+a+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=7+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$a^{2}+a+\frac{1}{4}=7+\frac{1}{4}$$

Lisää 7 lukuun \frac{1}{4}.

$$a^{2}+a+\frac{1}{4}=\frac{29}{4}$$

Jaa a^{2}+a+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Sievennä.

$$a+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} a+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$a=\frac{\sqrt{29}-1}{2} a=\frac{-\sqrt{29}-1}{2}$$